Оптимальный портфель инвестиционных проектов

 

Предлагается метод формирования оптимального портфеля инвестиционных проектов, в основе которого лежит подход, отличный от подхода Г. Марковица. В качестве критерия, в соответствии с которым формируется оптимальный портфель, используется максимум вероятности того, что доходность сформированного портфеля превышает некоторый заданный уровень.

 

Вопросы формирования оптимальных портфелей инвестиционных проектов (ИП) рассмотрены в ряде работ, подробный анализ которых дан в [1]. В основе этих работ лежит теория оптимального портфеля ценных бумаг Гарри Марковица [2, 3]. Ядром этой теории является теорема «об эффективном множестве портфелей». Инвестор выберет свой оптимальный портфель из множества портфелей, каждый из которых обеспечивает:

1. Максимальную доходность для некоторого уровня риска.

2. Минимальный риск для некоторого значения ожидаемой доходности.

В качестве характеристики доходности используют отношение изменения благосостояния инвестора в конце анализируемого периода к благосостоянию в начале периода:

 

,                (1)

 

где r - доходность портфеля; W1, W0 - доходность в конце и в начале анализируемого периода.

В качестве характеристики риска используется дисперсия или среднее квадратичное отклонение доходности.

Доходность r рассматривается как случайная величина, распределенная в соответствии с нормальным законом распределения. Пусть R и D параметры нормального закона распределения - математическое ожидание и дисперсия доходности.

Оставим в силе допущения о нормальном распределении доходностей каждого ИП. Пусть портфель ИП сформирован из n ИП, доходность каждого из которых характеризуется математическим ожиданием Ri и дисперсией Di.

Обозначим через Хi долю или часть i-го ИП в портфеле ИП, вектор X (Х = Х1, Х2,..., Хn) будет задавать структуру ИП. Доходность портфеля из n ИП определится по формуле

 

,        (2)

 

а математическое ожидание доходности портфеля из n ИП определится соотношением

 

,      (3)

 

где Ri = M{ri} - математическое ожидание доходности i-го ИП, а дисперсия портфеля ИП для случая, когда доходности ИП рассматриваются как независимые случайные величины, определится по формуле

 

,        (4)

 

а для случая зависимых доходностей ИП дисперсия портфеля определится как

 

,      (5)

 

где

       (6)

 

ковариация между доходностями двух ИП, в случае i = j - это дисперсия.

При этом должно выполняться условие нормировки, т.е.

 

.     (7)

 

Следуя [4], не будем оперировать непосредственно с такими понятиями, как риск и средняя (ожидаемая) доходность (математическое ожидание доходности).

При выборе рациональной стратегии формирования портфеля ИП будем исходить не из той стратегии, в основе которой лежит «эффективное множество портфелей», а из стратегии, которая обеспечивает гарантию получения определенного дохода R0 или дохода не меньшего определенного дохода R0. Следовательно, в качестве рациональной стратегии формирования портфеля ИП следует выбирать те из них, при которых обеспечивается выполнение неравенства

 

r ³ R0

или

 

.       (8)

 

Так как левая часть последнего соотношения величина случайная, то вместо неравенства (8) следует рассматривать вероятность выполнения его, т.е.

 

.    (9)

 

Оптимальным портфелем ИП для заданной доходности R0 будем называть такой портфель ИП, для которого вероятность получения доходности превышающий R0, будет максимальной, т.е. оптимальный портфель должен состоять из таких долей Хi каждого ИП, для которых вектор Х, удовлетворяющий условию нормировки (7), определится соотношением:

 

.     (10)

 

Последняя задача, определяемая соотношением (10), относится к классу задач стохастического программирования [5].

Рассмотрим случай, когда доходности ИП независимы. Так как случайная величина доходности ИП распределена в соответствии с нормальным законом, то можно записать

 

,

 

где Ф(...) - табулированная функция Лапласа [6].

Максимум последнего выражения будет достигаться при максимальном значении:

 

Y = .       (11)

 

Таким образом, приходим к следующей задаче. Нужно найти такие неотрицательные величины Х = Х1, Х2,..., Хn, которые удовлетворяют условию нормировки (7), и чтобы при этом

 

.      (12)

 

Значения Х = Х1, Х2,..., Хn, являющиеся решением последней задачи, задают оптимальный портфель ИП.

Нужно отметить, что данная постановка задачи нахождения оптимального портфеля ИП обобщает теорию оптимального портфеля Г. Марковица.

Действительно, первое условие теоремы об эффективном множестве портфелей следует из решения поставленной задачи при условии, когда

 

   ,        (13)

 

второе условие теоремы об эффективном множестве портфелей следует из решения поставленной задачи при условии, когда

 

;      (14)

 

Каждая из двух последних задач допускает решение в аналитическом виде. Эти решения достаточно подробно описаны в [7]. Очевидно, что решения этих двух частных задач не совпадают в общем случае с решением задачи, определяемой соотношением (12) (в отдельных вырожденных случаях они могут совпадать).

Рассмотрим решение задачи, определяемой соотношением (12). Она относится к числу задач нелинейного математического программирования с ограничениями в виде равенств и неравенств. Определим множество допустимых значений переменных Х в задаче оптимизации (12) в виде:

 

.    (15)


Очевидно, что множество М является замкнутым, ограниченным множеством.

Функция Y, определяемая (11), является дифференцируемой функцией на множестве М, следовательно, согласно теореме Вейерштрасса [8] она достигает на множестве М своих наибольшего и наименьшего значений или в стационарной точке, или в граничной точке области.

Напомним, что стационарной точкой X Î М называется точка, в которой все частные производные функции Y равны нулю; точка множества М называется граничной, если в любой ее окрестности содержатся как точки, принадлежащие данному множеству, так и точки, не принадлежащие ему.

Следовательно, чтобы найти наибольшее значение функции Y на множестве М, нужно:

- найти все стационарные точки внутри области М и вычислить значение функции в них;

- исследовать функцию на экстремум на границе области М;

- сравнить значения функции в стационарных и граничных точках; наибольшее из полученных значений и будет наибольшим значением функции на всем множестве.

Пусть n = 2, тогда выражая Х2 через Х1 и подставляя Х2 = 1 – Х1 в (11) получим

 

.      (16)

 

Дифференцируя правую
часть (16) по Х1 и приравнивая полученную производную нулю, находим значение Х1, соответствующее стационарной точке

 

           (17)

 


и соответствующее ему значение Х2


.        (18)

 

Два последних соотношения задают стационарное значение Х. Граничные точки будут соответственно Х = 0,1 и Х = 1,0.

Если R1 < R2, то возможны три варианта формирования оптимального портфеля для случая, когда рассматриваются только два ИП. При этом варианты формирования портфеля зависят от стремления инвестора получить ту или иную прибыль.

Первый вариант - осторожная стратегия. Инвестор стремится получить доходность R0 ниже R1. В этом случае оптимальная структура портфеля ИП задается соотношениями (17), (18). Вероятность получения такой доходности не меньше чем 0,7 и определяется при прочих равных условиях стремлением инвестора получить определенную доходность. Чем меньше R0, тем выше вероятность получить доходность не ниже желаемой.

Второй вариант - умеренно-авантюристическая стратегия. Инвестор стремится получить доходность в пределах от R1 до R2. В этом случае производная правой части (16) по Х1 для 0 £ Х1 £ 1 будет отрицательной, функция Y будет убывающей по Х1 и максимум функции Y будет достигаться при Х1 = 0. Следовательно, оптимальная структура портфеля - Х = 0,1; оптимальный портфель состоит только из одного второго ИП. Вероятность получения такой доходности чуть больше или чуть меньше 0,5.

Третий вариант - авантюристическая стратегия. Инвестор стремится получить доходность выше, чем R2. Соотношения (17), (18) дают значения, не соответствующие максимуму функции Y. Максимум функции Y достигается при Х1 = 0, Х2 = 1; оптимальная структура портфеля Х = 0,1; оптимальный портфель состоит только из одного второго ИП. Вероятность получения такой доходности ниже 0,5.

При n > 2 для определения оптимального портфеля ИП использовались численные методы. Автором был разработан численный метод решения задачи, определяемой соотношением (12), который базируется на методе прямого поиска экстремума Хука-Дживса при наличии ограничений [9]. Кроме того, для численного решения задачи оптимизации использовались средства электронной таблицы Excel для Windows 98, предоставляемые командой «Сервис», пунктом «Поиск решения». Оба метода нахождения оптимального решения давали практически одинаковый результат: при n = 50 время нахождения оптимального решения составляло не больше 1 мин для ПЭВМ Pentium II.

Рассмотрим задачу формирования оптимального портфеля, описанную в [7, с. 152 - 154]. Исходные данные: даны три вида независимых ценных бумаг (применительно к нашему случаю три ИП), математические ожидания и дисперсии доходностей которых соответственно равны: R1 = 9, D1 = 1; R1 = 10, D1 = 9; R1 = 11, D1 = 16. В [7] нумерация ценных бумаг дана в обратном порядке. Задача формирования оптимального портфеля формулируется следующим образом: найти такую структура портфеля, при которой он имеет минимальную дисперсию и математическое ожидание доходности, равное 10.

В итоге решения задачи, в соответствии с подходом Г. Марковица, получена следующая структура портфеля: Х1 = 0,3382; Х2 = 0,3214; Х3 = 0,3404. Дисперсия оптимального портфеля равна 2,891.

С позиций предлагаемого подхода к формированию оптимального портфеля в [7] рассматривается умеренно-авантюристическая стратегия. Вероятность получения дохода, не меньшего 10, равна 0,4994. При использовании предлагаемого подхода структура оптимального портфеля будет иная, а именно: Х1 = 0; Х2 = 0; Х3 = 1.

Дисперсия оптимального портфеля равна 16, но вероятность получения дохода, не меньшего 10, равна 0,5987.

В предлагаемом подходе дисперсия оптимального портфеля может быть больше дисперсии, чем в подходе Г. Марковица, но дисперсия - это, конечно, важная, но частная характеристика случайной величины. Вероятность же того, что доходность портфеля больше (меньше) заданного значения, является наиболее полной информативной характеристикой случайной величины доходности портфеля, и в предлагаемом подходе эта определяющая характеристика всегда больше.

Для инвестора представляются целесообразными только такие структуры оптимальных портфелей, для которых вероятность получения доходности не ниже заданной будет в пределах от 0,7 и выше.

Выше рассмотрен случай, когда доходности ИП являются некоррелированными величинами. В случае, когда условие некоррелированности не выполняется, нахождение оптимальной структуры несколько усложняется, но принципиальных трудностей при этом не возникает. Максимизируемая функция Y при этом будет иметь вид

 

Y = .      (19)

 

Функция Y, определяемая соотношением (19), является дифференцируемой функцией на множестве М (множество М определяется соотношением 15). Следовательно, согласно теореме Вейерштрасса [8], она достигает на множестве М своих наибольшего и наименьшего значений или в стационарной точке, или в граничной точке области.

Практическое нахождение оптимальной структуры портфеля ИП с помощью численных методов при этом занимало не больше времени, чем для случая некоррелируемых доходностей ИП.

Если для n ИП R1 < R2 <…<Rn, то возможны три варианта формирования оптимального портфеля для случая, когда рассматриваются только два ИП. При этом варианты формирования портфеля зависят от стремления инвестора получить ту или иную прибыль.

Первый вариант - осторожная стратегия. Инвестор стремится получить доходность R0 ниже R1.

Второй вариант - умеренно-авантюристическая стратегия i-го вида. Инвестор стремится получить доходность в пределах от Ri до Ri+1.

Третий вариант - авантюристическая стратегия. Инвестор стремится получить доходность, выше чем Rn.

Моделирование оптимальной структуры портфелей ИП при различных вариантах исходных данных позволило сделать следующие выводы:

- если инвестор руководствуется осторожной стратегией формирования портфеля, то представляется целесообразной полная диверсификация портфеля, т.е. портфель следует формировать из всех ИП;

- если инвестор руководствуется умеренно-авантюристической стратегией i-го вида формирования портфеля, то представляется целесообразной диверсификация портфеля, но портфель следует формировать из ИП, для которых Ri ³ R0;

- если инвестор руководствуется умеренно-авантюристической стратегией вида n - 1 или авантюристической стратегией формирования портфеля, то диверсификация не нужна.

Таким образом, предложенный подход к формированию оптимального портфеля ИП обобщает известный подход Г. Марковица, включая его как частный случай, и позволяет находить оптимальный портфель ИП, базируясь на наиболее полной информативной характеристике доходности - вероятности того, что доходность портфеля будет не ниже заданной.

Следует также отметить, что предположение о нормальности распределения доходностей ИП является очень сильным и практически не проверяемым допущением. В реальности мы располагаем только некоторой и достаточно бедной статистикой по доходностям отдельных ИП. Этот случай более адекватен реальным ситуациям формирования портфелей ИП и требует отдельного исследования.

 

Михаил ЛОМАКИН,

доктор технических наук, профессор,

Военный университет

 

Литература

1. Касимов Ю.Ф. Основы теории оптимального портфеля ценных бумаг. М.: Филинъ, 1998.

2. Markowitz H.M. Portfolio selections. Journal of Finance, 1952, May.

3. Шарп У., Александер Г., Бэйли Дж. Инвестиции. М.: Инфра-М, 1997.

4. Ломакин М.И. Анализ инвестиционных проектов в условиях неопределенности. Инвестиции в России. № 3, 2000.

5. Ермольев Ю.М. Методы стохастического программирования. М.: Наука, 1976.

6. Вентцель Е.С. Исследование операций. М.: Сов. радио, 1972.

7. Колемаев В.А. Математическая экономика. М.: ЮНИТИ, 1998.

8. Исследование операций в экономике. Под ред. Н.Ш. Кремера. М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1999.

9. Реклейтис Г., Рейвиндран А., Рэгсдел К. Оптимизация в технике. В 2-х кн. М.: Мир, 1986.